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Esse é mais de muitos posts com mais detalhes sobre os tópicos que caem na parte de matemática da prova do GRE General Test e do GMAT.
No post de hoje, vamos continuar com a Aritmética e vamos entender de forma mais prática sobre os Números Naturais e a ideia de Contagem.
O Números Naturais e a Contagem
Sempre que você está numa questão de matemática, principalmente na prova do GRE ou GMAT, boa parte do que aparece tem algo implícito. Não prestar atenção neste algo implícito é justamente o que faz muitas pessoas errarem questões por não terem testado mais números. Então, na matemática, é importante entender “o mundo em que uma questão se encontra“.
Mais uma vez, na matemática, podemos chamar isso de: “restrição”, “domínio”, “propriedades” e etc.
Tudo começa por entender a seguinte figura:
Números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.
Talvez você lembre que sempre passamos batido por essa figura! Mas ela é mais importante do que você imagina. Não é bem assim que representamos os números na matemática, mas em todos os livros de ensino médio e para as provas do GRE e do GMAT isso é uma verdade!
Números Naturais: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6,…}
A ideia por trás dos números naturais é que podemos usar cada um de seus elementos para representar uma ideia de contagem. Se pegarmos o elemento “6”, podemos usá-lo para identificar que há 6 maçãs dentro de uma caixa e assim por diante. Além disso, a ideia de números consecutivos também está presente no mundo dos naturais.
OBS.: e o “0“, pertence aos Naturais?
Essa é uma discussao filosófica matemática que não faz o menor sentido para as provas. Porém, o que posso adiantar é que não faz muito sentido usar o “0” para contar alguma coisa. Fique com isso na cabeça e siga em frente.
Números Naturais = Números Inteiros Positivos?
Veja ambos conjuntos e perceba como os Naturais são bem parecidos com os Inteiros Positivos:
Conjunto dos Inteiros Positivos: Z = {1, 2, 3, …} – Não inclui o 0.
Conjunto dos Naturais: N ={1, 2,3, …} – Não inclui o 0.
Normalmente, as pessoas confundem as palavras positivo, negativo, não-negativo e não-positivo. Revise nosso post sobre Entendendo o Mundo dos Números.
Conjunto Finito vs Conjunto Infinito
Vamos usar uma linguagem bem simples.
Conjunto finito: é aquele que acaba em algum momento, ou seja, tem um número finito de elementos.
Conjunto infinito: é aquele que tem tantos elementos que não acaba nunca.
Entenda que, na matemática, quando dizemos que um conjunto é finito, dizemos que este conjunto tem n elementos, onde este n pertence aos Naturais, ou seja, ele pode ser o 1, o 2, o 3, ou qualquer outro valor.
Obs.: Da mesma forma, podemos dizer sem problemas que este n pertence aos inteiros positivos, mas isso não é muito comum, apesar de fazer todo sentido.
Números Naturais = Contagem?
Sim! Os números naturais estão extremamente ligados com a ideia de contar coisas e justamente por isso que é interessante começar com o 1.
Parece óbvio, mas essa construção de aprendizado partindo justamente desses assuntos mais “básicos” é uma das coisas que diferencia as pessoas que são capazes de tirar notas mais altas (ou errar menos) das que apenas deram um jeito para aprender algo pra prova (e provavelmente vão cometer várias besteiras numa prova que exige atenção).
Veja a figura abaixo. Suponha que você não conheça quem é o conjunto X e suponha que você quer saber se ele é um conjunto finito ou infinito, ou seja, se ele tem n elementos ou se ele tem infinitos elementos.
De posse desses novos conhecimentos, imagine que, por meio de um artifício matemático* eu conseguisse corresponder um a um (em ordem e começando do 1) somente alguns elementos dos Naturais, ou seja, somente estamos usando n elementos.
*esse artifício matemático são as funções bijetoras.
Perceba que essa correspondência (setas vermelhas) para em algum momento justamente pois só fizemos n correspondências. No caso desse conjunto X, o nosso n é igual a 3, ou seja, n=3.
Perceba também que não estamos fazendo uma correspondência com todos os elementos do conjunto dos naturais, mas apenas com n elementos.
O que temos aqui? Agora, nós definitivamente sabemos que o conjunto X é finito, pois ele tem n elementos (que veio por conta da nossa correspondência). Portanto, o conjunto X é finito e tem n=3 elementos.
Contagem vs Contagem Inclusiva
Para finalizar, é muito importante diferenciarmos uma contagem “normal” de uma contagem inclusiva.
Essa ferramenta de contagem inclusiva é algo que você vai usar em diversos momentos dentro das questões e é onde as pessoas costumam errar, pois estão contando errado!
Exemplo de Contagem “normal“:
- Tenho 15 figurinhas e sumiu uma. Quantas me restam? Simples: 15 – 1=14.
Exemplo de Contagem Inclusiva:
- Tenho um evento que começa no dia 10 de Agosto e termina dia 20. Quantos dias de evento? 20 – 10 + 1 = 11.
Veja que na contagem inclusiva, nós temos que incluir um dos extremos, pois eles fazem parte da contagem. Esse é o truque e é aqui que muita gente erra. Claro que não vai cair uma questão assim, mas tenha certeza que você vai precisar usar esse conhecimento dentro de algum questão da prova.
Como isso aparece nas provas?
Bem, até onde eu conheço, você não vai achar nada sobre os Números Naturais nos livros e cursos do GRE e GMAT. Eu acho isso muito errado. Eles simplesmente supõem que você sabe que os Inteiros Positivos existem e que eles são iguais aos Naturais. Porém, entender como as coisas funcionam é muito importante e me custou apenas um ou dois posts!
Por hoje é só, espero ter ajudado!
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